Foreversoft.ru

IT Справочник
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Число пи на языке паскаль

Число пи на языке паскаль

Самый простой и легкий в реализации метод.

Рассмотрим произвольный квадрат с центром в начале координат и вписанный в него круг. Будем рассматривать только первую координатную четверть. В ней будет находиться четверть круга и четверть квадрата. Обозначим радиус круга r, тогда четверть квадрата тоже будет квадратом(очевидно) со стороной r.

Будем случайным образом выбирать точки в этом квадрате и считать количество точек, попавших в четверть круга. Благодаря теории вероятности мы знаем, что отношение попаданий в четверть круга к попаданиям ‘в молоко’ равно отношению площадей — пи/4. Вот, собственно, и весь алгоритм. Чем больше взятых наугад точек мы проверим, тем точнее будет отношение площадей.

Вот простенькая программа на Паскале, считающая пи этим способом. Четыре первых знака требуют на моем PentiumII-300 около 5 минут.


Школьный алгоритм вычисления ПиВ 1671 году Джеймс Грегори установил, что:

Этот результат позволил Лейбницу получить очень простое выражение для PI, а именно:

или, после умножения на 4:

Просуммируйте этот ряд и Вы получите число PI.

Однако, как говорил Козьма Прутков, ‘нельзя объять необъятное’, что, в применении к данному случаю, можно перефразировать так: нельзя просуммировать бесконечное число слагаемых за конечное время, каким бы быстрым компьютером мы не располагали.

Слава Богу, этого и не требуется. Поскольку мы хотим найти не точное значение PI, а лишь его приближение с пятью верными десятичными знаками, нам достаточно просуммировать такое количество первых членов ряда, чтобы сумма всех оставшихся членов не превышала 10 -5 .

Остался, правда, открытым вопрос о том, сколько же все-таки членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с требуемой точностью?

Ответ на этот вопрос в ‘общем виде’ выходит далеко за рамки настоящего обсуждения. Это отдельная тема в курсах математического анализа и численных методов.

К счастью, данный конкретный ряд позволяет найти очень простое правило, позволяющее определить момент, когда следует прекратить суммирование. Дело в том, что ряд Грегори является знакопеременным и сходится равномерно (хотя и медленнее, чем хотелось бы). Это означает, что для любого нечетного n , сумма первых n членов ряда всегда дает верхнюю оценку для PI, а сумма n +1 первых членов ряда — нижнюю.

Значит, как только разница между верхней и нижней оценками окажется меньше, чем требуемая точность, можно смело прекращать вычисления и быть уверенным, что как та, так и другая оценки отличаются от истинного значения PI не более, чем на 10 -5 . В качестве окончательного результата разумно взять среднее значение между полученными верхней и нижней оценками. Таким образом, можно предложить алгоритм, приведенный ниже.

При реализации этого алгоритма на машине следует помнить, что ряд Грегори сходится достаточно медленно, и поэтому n может принимать довольно большие значения.


Более серьезный подход

Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:

p= 12arctan1+ 8arctan1— 5arctan1
41857239

Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.

Исходник программы, включающий в себя ‘длинную арифметику’

Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x — x 3 /3 + x 5 /5 — . x=1/p, значит arccot(x) = 1/p — 1 / p 3 / 3 + . Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.

Конечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи. Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.

Введение в Pascal

Вы находитесь в разделе материалов по пограммированию на Паскале. Перед тем как начать программировать, надо прояснить некоторые понятия, которые нам понадобятся в начале. Ведь просто так программировать нельзя. Мы не можем записать программу словами – компьютер кроме нулей и единиц больше ничего не понимает. Для этого в Паскале создана специальная символика – язык Паскаля, набор зарезервированных слов, которые нельзя использовать в своих программах больше нигде, кроме как по назначению. Перечислим основные понятия, которые нам понадобятся в начале:

✎ 1) program – по-английски «программа», пишется в самом начале кода, после чего идет название программы латиницей и точка с запятой. Например: program Summa; − программа под названием Summa. Но эту часть кода, называемую заголовком программы, можно и не писать − она присутствует только для наглядности и показывает, какую задачу решает данная программа. Здесь мы употребили слово «код» − так называется текстовая запись программы.

✎ 2) integer – по-английски означает «целое число» (или просто «целое») и в Паскале используется для обозначения 32-битных (8 байт) целых чисел со знаком с диапазона [-2147483648, 2147483647] . Что означают эти большие числа, мы потом разберем.

✎ 3) real – с английского «реальный», «настоящий», «вещественный», «действительный». В языке Паскаль этим термином обозначаются вещественные числа с диапазона [-1.8∙10 308 , 1.8∙10 308 ] . Это очень большие числа, но значащих цифр выводится 15 – 16. Кстати, типы данных integer и real в среде программирования PascalABC.Net всегда автоматически выделяются синим цветом.

Читать еще:  Ошибка 7 out of memory

✎ 4) const – аналог англ. «constant», означающее «постоянная», «константа». В Паскале это величина, которая не может изменяться. Записывается так:

Эту запись надо воспринимать так, как она пишется: число N равно 12, S равно 5, «пи» равно 3,14 (как и в математике, только вместо запятой в Паскале используется точка). В последней строке мы использовали двойной слэш (две косые черты), после которых идет текст, – так в Паскале пишутся комментарии, и их программа не воспринимает. Всё, что начинается двойным слэшом и до конца строки – это комментарий, который пишется для пояснения к программе и всегда выделяется другим цветом (в PascalABC.Net — это зеленый , в Turbo Pascal не используется такой вид комментария). Существует и другой тип комментария – это <текст, заключенный в фигурные скобки, так же, как и здесь, тоже выделяющийся зеленым цветом>. Этот вид комментария может действовать несколько строк подряд – от начала скобки и до её закрытия, и всё, что находится в середине такой конструкции, компилятор не воспринимает как код и просто пропускает.

В действительности формат записи const немножко сложнее. По правилам мы должны были записать:

После объявления каждой величины указывается её тип, а потом присваивается значение. Но предыдущая запись тоже верна, поскольку компилятор Паскаля настроен так, что он автоматически определяет тип постоянной. Но этого нельзя сказать о следующем типе чисел – переменных.

✎ 5) var – происходит от англ. «variable» («переменная», или «изменчивый»), что в Паскале означает величину, которая в процессе программы может изменять свое значение. Записывается так:

Как видно из записи, знака «=» здесь нет – пересчитываются переменные одного типа (через запятую) и после двоеточия указывается только тип. Переменные N, m (целые) и Q, r, t (вещественные) в программе могут изменять значения в пределах integer и real соответственно. Ещё одно замечание: описание переменных всегда стоит после описания констант (постоянных) – сначала идет конструкция const , а потом var .

✎ 6) begin – в переводе с английского означает «начинать» и Паскале означает начало основной программы, в которой записываются команды (операторы). После слова begin точка с запятой не ставится.

✎ 7) end – по-англ. «конец», и в языке Pascal означает то же (конец программы). После последнего слова end всегда стоит точка. Мы выделили слово «последнего», поскольку использование конструкции begin – end возможно ещё в одном случае: это так называемые операторные скобки, которые применяются для объединения нескольких операций под одним оператором. Но об этом потом. Таким образом, основная программа будет выглядеть так:

Здесь операторы в теле программы – это разные команды компилятору.

✎ 8) write – по-английски означает «писать». Этот оператор выводит на экран текст, помещенный в него, поэтому так и называется – оператор вывода. Текст, помещенный в него, выделяется синим и записывается так:

write( ‘этот текст выведен на экране’ );

Сообщение, находящееся в скобках и кавычках, будет показано в окне консоли (просто в скобках без кавычек нельзя). После выполнения этого оператора мы увидим на экране:

этот текст выведен на экране

В таком виде оператор write используется в том случае, когда надо показать подсказку, пояснение, комментарий и т. п. А от если необходимо вывести ещё и числовое значение, скажем, S = 50 кв. м, то используется формат:

write( ‘Величина площади равна: S = ‘ , S);

В результате получим на экране результат:

Величина площади равна: S = 50

А при необходимости вывести единицы измерения, надо после S снова вставить текст в кавычках:

write( ‘Величина площади равна: S = ‘ , S, ‘ кв.м’ );

После выполнения последнего оператора вывода получим вывод на экран:

Величина площади равна: S = 50 кв.м

✎ 9) writeln – то же, что и write, но после выполнения курсор будет переведен на следующую строку.

✎ 10) read – в переводе с английского означает «читать», поэтому read называется оператором считывания, или ввода данных. Записывается как read(N), что означает необходимость ввода величины N, где N – любое число, или текст, или другой тип переменной. Например, если надо ввести возраст человека, которому 32 года, мы можем записать так:

В первой строчке этого кода программа выводит вопрос « Каков Ваш возраст? » и переводит курсор в следующую строку (окончание ln); во второй строке мы выводим « Year = » (в начале пробел); далее мы видим оператор readln(Year) означающий необходимость введения возраста Year (число 32); наконец, выводим сообщения « Мой возраст », « 32 » и « года. » поочередно. Необходимо внимательно следить за пробелами. В результате выполнения данного кода мы получим сообщение:

Каков Ваш возраст?
Year = 32
Мой возраст 32 года

✎ 11) readln – то же, что и read, только с переводом на новую строку. Действительно, в приведенном выше примере после введения числа Year мы только в следующей строке пишем: « Мой возраст 32 года ».

Читать еще:  Ошибка сервера электронной почты

Это пока что все. На следующей странице мы напишем первую программу, и в программировании на Паскале это будут наши первые шаги.

Введение в Pascal

Вы находитесь в разделе материалов по пограммированию на Паскале. Перед тем как начать программировать, надо прояснить некоторые понятия, которые нам понадобятся в начале. Ведь просто так программировать нельзя. Мы не можем записать программу словами – компьютер кроме нулей и единиц больше ничего не понимает. Для этого в Паскале создана специальная символика – язык Паскаля, набор зарезервированных слов, которые нельзя использовать в своих программах больше нигде, кроме как по назначению. Перечислим основные понятия, которые нам понадобятся в начале:

✎ 1) program – по-английски «программа», пишется в самом начале кода, после чего идет название программы латиницей и точка с запятой. Например: program Summa; − программа под названием Summa. Но эту часть кода, называемую заголовком программы, можно и не писать − она присутствует только для наглядности и показывает, какую задачу решает данная программа. Здесь мы употребили слово «код» − так называется текстовая запись программы.

✎ 2) integer – по-английски означает «целое число» (или просто «целое») и в Паскале используется для обозначения 32-битных (8 байт) целых чисел со знаком с диапазона [-2147483648, 2147483647] . Что означают эти большие числа, мы потом разберем.

✎ 3) real – с английского «реальный», «настоящий», «вещественный», «действительный». В языке Паскаль этим термином обозначаются вещественные числа с диапазона [-1.8∙10 308 , 1.8∙10 308 ] . Это очень большие числа, но значащих цифр выводится 15 – 16. Кстати, типы данных integer и real в среде программирования PascalABC.Net всегда автоматически выделяются синим цветом.

✎ 4) const – аналог англ. «constant», означающее «постоянная», «константа». В Паскале это величина, которая не может изменяться. Записывается так:

Эту запись надо воспринимать так, как она пишется: число N равно 12, S равно 5, «пи» равно 3,14 (как и в математике, только вместо запятой в Паскале используется точка). В последней строке мы использовали двойной слэш (две косые черты), после которых идет текст, – так в Паскале пишутся комментарии, и их программа не воспринимает. Всё, что начинается двойным слэшом и до конца строки – это комментарий, который пишется для пояснения к программе и всегда выделяется другим цветом (в PascalABC.Net — это зеленый , в Turbo Pascal не используется такой вид комментария). Существует и другой тип комментария – это <текст, заключенный в фигурные скобки, так же, как и здесь, тоже выделяющийся зеленым цветом>. Этот вид комментария может действовать несколько строк подряд – от начала скобки и до её закрытия, и всё, что находится в середине такой конструкции, компилятор не воспринимает как код и просто пропускает.

В действительности формат записи const немножко сложнее. По правилам мы должны были записать:

После объявления каждой величины указывается её тип, а потом присваивается значение. Но предыдущая запись тоже верна, поскольку компилятор Паскаля настроен так, что он автоматически определяет тип постоянной. Но этого нельзя сказать о следующем типе чисел – переменных.

✎ 5) var – происходит от англ. «variable» («переменная», или «изменчивый»), что в Паскале означает величину, которая в процессе программы может изменять свое значение. Записывается так:

Как видно из записи, знака «=» здесь нет – пересчитываются переменные одного типа (через запятую) и после двоеточия указывается только тип. Переменные N, m (целые) и Q, r, t (вещественные) в программе могут изменять значения в пределах integer и real соответственно. Ещё одно замечание: описание переменных всегда стоит после описания констант (постоянных) – сначала идет конструкция const , а потом var .

✎ 6) begin – в переводе с английского означает «начинать» и Паскале означает начало основной программы, в которой записываются команды (операторы). После слова begin точка с запятой не ставится.

✎ 7) end – по-англ. «конец», и в языке Pascal означает то же (конец программы). После последнего слова end всегда стоит точка. Мы выделили слово «последнего», поскольку использование конструкции begin – end возможно ещё в одном случае: это так называемые операторные скобки, которые применяются для объединения нескольких операций под одним оператором. Но об этом потом. Таким образом, основная программа будет выглядеть так:

Здесь операторы в теле программы – это разные команды компилятору.

✎ 8) write – по-английски означает «писать». Этот оператор выводит на экран текст, помещенный в него, поэтому так и называется – оператор вывода. Текст, помещенный в него, выделяется синим и записывается так:

write( ‘этот текст выведен на экране’ );

Сообщение, находящееся в скобках и кавычках, будет показано в окне консоли (просто в скобках без кавычек нельзя). После выполнения этого оператора мы увидим на экране:

этот текст выведен на экране

В таком виде оператор write используется в том случае, когда надо показать подсказку, пояснение, комментарий и т. п. А от если необходимо вывести ещё и числовое значение, скажем, S = 50 кв. м, то используется формат:

write( ‘Величина площади равна: S = ‘ , S);

В результате получим на экране результат:

Величина площади равна: S = 50

Читать еще:  Арифметические операторы паскаль

А при необходимости вывести единицы измерения, надо после S снова вставить текст в кавычках:

write( ‘Величина площади равна: S = ‘ , S, ‘ кв.м’ );

После выполнения последнего оператора вывода получим вывод на экран:

Величина площади равна: S = 50 кв.м

✎ 9) writeln – то же, что и write, но после выполнения курсор будет переведен на следующую строку.

✎ 10) read – в переводе с английского означает «читать», поэтому read называется оператором считывания, или ввода данных. Записывается как read(N), что означает необходимость ввода величины N, где N – любое число, или текст, или другой тип переменной. Например, если надо ввести возраст человека, которому 32 года, мы можем записать так:

В первой строчке этого кода программа выводит вопрос « Каков Ваш возраст? » и переводит курсор в следующую строку (окончание ln); во второй строке мы выводим « Year = » (в начале пробел); далее мы видим оператор readln(Year) означающий необходимость введения возраста Year (число 32); наконец, выводим сообщения « Мой возраст », « 32 » и « года. » поочередно. Необходимо внимательно следить за пробелами. В результате выполнения данного кода мы получим сообщение:

Каков Ваш возраст?
Year = 32
Мой возраст 32 года

✎ 11) readln – то же, что и read, только с переводом на новую строку. Действительно, в приведенном выше примере после введения числа Year мы только в следующей строке пишем: « Мой возраст 32 года ».

Это пока что все. На следующей странице мы напишем первую программу, и в программировании на Паскале это будут наши первые шаги.

Выражения Паскаль

Какую структуру имеют выражения Паскаль? Выражения Паскаль задают определенное правило, по которому вычисляется некоторое значение. В состав выражений входят:

  • знаки операций
  • константы
  • указатели функций
  • переменные
  • скобки

Математические операции Паскаль:

Приведем стандартные математические операции в Паскале:

+ — сложение (3+58=61)
— — вычитание (4-42=-38)
* — умножение (8*12=96)
/ — деление (46/23=2)

Однако кроме этих стандартных операций в Паскале предусмотрены еще 2 математические операции:

div — деление нацело (10/3=3)
mod — деление с остатком (10/3=1)

Логические операции Паскаль:

В языке Паскаль присутствуют еще и логические операции над аргументами логического типа, например, у нас даны две логические переменные A и B. В таблице истинности запишем результат выполнения тех или иных логических операций:

Под not понимается логическое отрицание («НЕ»), and означает логическое умножение («И»), or подразумевает логическое сложение («ИЛИ»), xor раскрывает логическое «исключающее ИЛИ».

Операции отношения Паскаль:

Теперь поговорим об операциях отношения в Турбо Паскаль:

Уникальность операций отношения состоит в том, что их можно выполнять не только над числами, но и над строками, символами, множителями и указателями.

Приоритет операций Паскаль:

Как в математике, так и в программировании присутствует приоритет операций. В Турбо Паскале порядок вычисления выражения фиксируется по старшинству содержащихся в нем операций:

В математике тем не менее возможно переопределить порядок выполнения операций при помощи скобок. Турбо Паскаль — не исключение:

2*4-3 = 5, 2*(7-10) = -6

Математические функции Паскаль:

Приведем основные математические функции, которые разработчики Турбо Паскаль предусмотрели и вставили в системную библиотеку:

abs(n) — абсолютное значение числа n,

sin(n) — синус числа n, где n — угол в радианах,

cos(n) — косинус числа n, где n — угол в радианах,

В Турбо Паскале не предусмотрены функций тангенса и котангенса. Чтобы их вычислить, используют выражения sin(x)/cos(x), cos(x)/sin(x) соответственно.

atan(n) — арктангенс числа n,

exp(n) — число e = 2,718 в степени n,

ln(n) — натуральный логарифм числа n,

pi — число Пи = 3,14,

sqr(n) — квадрат числа n.

В Турбо Паскале нет функции, чтобы возвести число в произвольную степень, поэтому, как и в математике, можно либо многократно умножать число на себя для возведения в целочисленную степень, либо воспользоваться функциями экспоненты и натурального логарифма, чтоб возвести число как в целочисленную, так и в вещественную степень (более эффективный способ):

2^(1.33) = exp(1.33*ln(2))

sqrt(n) — квадратный корень из числа n,

trunc(n) — число, равное целой части числа n (отбрасывается дробная часть числа n, результатом выполнения будет число с типом longint),

frac(n) — число, равное дробной части числа n,

int(n) — число, равное целой части числа n (в результате получается число с типом real),

round(n) — округление числа n (возвращаемое значение будет иметь тип longint),

random(n) — генератор псевдослучайных чисел в диапазоне 0 до n (если аргумент отсутствует, т.е. просто random, то в результате выполнения этой функции появится вещественное число от 0 до 1).

Если вы хотите использовать random в процессе выполнения программы, то нужно его инициализировать(другими словами, активировать) процедурой randomize, иначе при последующем запуске программы будет выводиться та же самая последовательность случайных чисел. Рассмотрим на примере программу, которая выводит на экран любые 7 чисел в диапазоне от -15 до 15:

program chislo;

var j: integer;

begin randomize;

for j:=1 to 7 do

writeln(random(26)-10);

end.

inc(m,n) — увеличение значения числа m на n (если число n не указано, то число m увеличивается на единицу),

dec(m,n) — уменьшение значения числа m на n (если число n не указано, то число m уменьшается на единицу).

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector